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Filtragem de Series Temporais
Afinal, o que e' filtragem e para que serve? Para compreender o significado de uma filtragem e para ter uma melhor idéia de aplicações, clique nos arquivos powerpoint abaixo e Divirta-se! 1. Ideias gerais 2. Aplicações 3.A Oscilacao de 30-60 dias (MJO)
Filtragem de Series Temporais
Considere uma serie temporal Xt, t=1,N. Como visto em aulas anteriores, a serie Xt pode ser representada como uma serie de Fourier:
O processo de filtragem consiste em transformar a serie Xt de tal modo que as amplitudes de certas componentes de Fourier, previamente selecionadas, sejam alteradas. Quando realizada no domínio de tempo, a operação de filtragem consiste em:
onde Wk, k=-n,...0,...n, e’ a função filtro (ou peso). No caso de media móvel de dimensão L, a função peso contem L pesos iguais tal que Wk=1/L, k=1,L. Resposta de Freqüência e’ interpretada como:
onde
Para a maioria das aplicações, impõe-se a condição de que a função peso Wk seja simétrica afim de não haver modificação de fase das componentes de Fourier compondo a serie original Xt. Deve-se tomar muito cuidado com cálculos estatísticos feitos em Excel. Um exemplo claro onde há mudança de fase e’ visto aqui (link). Mais genericamente, a resposta de freqüência de uma função filtro Wk e’ dada pela Transformada de Fourier da Função Peso, que em forma discreta fica:
onde f e’ freqüência (ciclos por unidade de dados).
Para uma media móvel de dimensão L pode-se mostrar que a resposta de freqüência e’ dada por:
Para m sucessivas aplicações de uma media móvel de dimensão L, a resposta de freqüência e’:
Outro filtro bastante utilizado e’ o Filtro Triangular ou Filtro 1-2-1, onde a função peso consiste de três pesos w1 = 0.25, w2 = 0.50 (peso central) e w3 = 0.25. Para m repetições do filtro 1-2-1, a Resposta de Freqüência e’ dada por:
onde Dt e’ o intervalo de amostragem da serie temporal. Para m > 5, o formato da resposta de freqüência do filtro 1-2-1 se aproxima ao formato de uma curva Gaussiana.
1) Filtro Passa-baixa
A função peso e’ dada por:
k=-n,...0,...n , f e’ freqüência, D e ‘ o intervalo de amostragem e fc e’ a freqüência de corte.
2) Filtro Passa-alta
Suponha que a freqüência de corte desejada seja fc. Primeiro construímos um filtro passa-baixa dado acima de tal modo que a serie filtrada será’:
sendo que Yt será a serie temporal contendo flutuações de baixa freqüência. Calculando-se então:
o que resulta na serie Zt contendo flutuações de alta freqüência. A resposta de freqüência do filtro passa-alta e’ então dado por:
3) Filtro Passa-banda
A função peso e’ definida por:
onde fc1 e fc2 são as freqüências de corte da banda desejada. A resposta de freqüência do filtro passa-banda e’ então dada por:
O filtro Lanczos e’ um filtro bastante poderoso e utilizado. E’ possível se obter respostas de freqüências bastante boas quando o numero de pesos e’ grande. Todavia, quanto maior o numero de pesos, maior será o numero de pontos indefinidos nas extremidades da serie filtrada (veja Eq. 2). Isto não representa um problema quando o comprimento da serie temporal do problema em questão e’ grande. Quando o comprimento da serie temporal e’ pequeno, a aplicação do filtro Lanczos torna-se difícil e uma alternativa e’ a utilização de uma outra classe de filtros. Os filtros discutidos ate’ este momentos são considerados filtros não recursivos, pois a função peso necessita tanto de observações anteriores como posteriores à uma dada observação Xt (veja equação 2). Uma outra classe de filtros, denominada de Filtros Recursivos, pode ser construída de tal forma que a função peso necessita um numero menor de pesos e utiliza somente observações anteriores a Xt. O filtro passa-banda de Murakami e’ um exemplo de filtro recursivo. Dado o problema em questão, escolhe-se duas freqüências de corte fc1 e fc2 e as formulas para o filtro são dadas por:
Considerando-se a serie original Xt, a filtrada e’ dada por:
E a resposta de freqüência por:
E Z e’ numero complexo. Note que este filtro recursivo utiliza somente duas observações no passado. E’ muito importante notar também que para não haver mudança de fase, o filtro e’ passado em dois passos. Primeiro aplica-se na serie Xt (sem media e tendência linear). A serie resultante e’ então revertida no tempo. Aplica-se o filtro nesta serie e reverte-se novamente no tempo para se obter a serie filtrada final (ver detalhes adicionais em Murakami 1979). A figura a seguir compara as respostas de freqüência de filtros passa-banda Lanczos com 151 pesos e o filtro de Murakami. A banda de freqüências escolhida e’ na faixa de variações intrasazonais ou 20-100 dias.
A aplicação do processo de filtragem discutida ate’ este momento e’ denominada de aplicação no domínio do tempo, pois a função peso e’ aplicada diretamente na série temporal X(t). Note que a equação 2 e’ na verdade a convolução entre a função peso e a série temporal X(t).
O processo de filtragem pode ser analogamente desenvolvido no domínio de freqüência. Consideremos então primeiramente algumas definições analíticas.
E expressões análogas são desenvolvidas para o caso discreto.
Para se aplicar a filtragem no domínio de freqüência, desenvolvemos os seguintes passos. 1) consideremos a série temporal X(t), cuja média e tendência linear foram previamente removidas. 2) aplicamos a transformada de Fourier em X(t), o que resulta em uma série H(f) transformada para o domínio de freqüência. 3) a seguir aplicamos a convolução entre a resposta de freqüência R(w) e H(f), de tal forma que R(w) e’ construída de forma a reter as freqüências desejadas, ou seja, passa-baixa, passa-alta ou passa-banda. Esta operação resulta portanto em uma nova função H’(f), cujas amplitudes correspondentes às freqüências a serem retidas são preservadas e as demais eliminadas ou atenuadas. 4) por fim, aplicamos a transformada de Fourier inversa em H’(f) para voltar ao domínio de tempo, o que resulta na série filtrada Y(t). A figura a seguir ilustra as filtragens nos domínios de tempo e de freqüência. Notamos uma alta correlação entre as séries temporais obtidas com ambos os métodos. Nota-se também que não há’ diferenças de fase entre as duas séries temporais. Pequenas diferenças de amplitudes são observadas e estas são devidas principalmente ao fato de termos escolhido as funções Wk e R(w) ligeiramente diferentes (bem como pequenos erros de arredondamento). Como mencionado anteriormente, a filtragem no domínio de tempo (eq. 2) resulta em pontos indefinidos nas extremidades da série temporal. Isto e’ ilustrado na série temporal com valores iguais a zero para os pontos no eixo das abscissas entre t = 0 e aproximadamente 75. Notamos também que a série temporal filtrada no domínio de freqüência apresenta pontos definidos entre t=0 e 75. Todavia, é extremamente importante notar que estes valores contém erros, pois a transformada de Fourier é aplicada em uma série finita de dados. Em suma, como regra básica quando a filtragem é feita em domínio de freqüência, é desejável evitar em incluir os valores filtrados perto das extremidades da série temporal nas análises posteriores.
Para finalizar, notamos que todas as formulações discutidas neste capítulo podem ser aplicadas para a filtragem espacial. Neste caso, o problema em questão e’ preservar determinados comprimentos de onda e filtrar os demais.
Referencias
Christoph, M. et al., 1995: Faster determination of the intraseasonal variability of storm tracks using Murakami’s recursive filter. Mon. Wea. Rev., 123, 578-581. Duchon, C. E., 1979: Lanczos filter in one and two dimensions. J. Appl. Meteor., 18, 1016–1022. J. L. Holloway, 1958: Smoothing and filtering of time series and space fields. Advances in Geophysics. Murakami, M., 1979: Large-scale aspects of deep convective activity over the GATE area. Mon. Wea. Rev., 107, 994-1012. Wheeler, M., and G. N. Kiladis, 1999: Convectively coupled equatorial waves: Analysis of clouds and temperature in the wavenumber-frequency domain. Journal of the Atmospheric Sciences, 56, 374-399.
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