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MÉTODOS OBSERVACIONAIS EM CLIMATOLOGIA E METEOROLOGIA DE MESOESCALA NOTAS DE AULA ALGORITMOS PARA A REMOÇÃO DE CICLOS ANUAIS (PARTE-II) MÓDULO 1-C : CONTINUAÇÃO
5.3 Ciclos anuais complicados (WI)
Vimos na parte I deste curso que ciclos anuais bem definidos podem ser extraídos após ajustarmos o primeiro harmônico da série temporal. Etretanto, algumas séries temporais possuem ciclo anual mais complicado, exibindo uma curva irregular. WI cita como exemplo o ciclo anual climatológico da probabilidade (expressa em porcentagens) de que nenhuma precipitação mensurável (observada entre 1948-1983) caia durante um período de 5 dias (centrado num determinado dia juliano mostrado na abcissa do gráfico) na cidade de El Paso, Texas (Fig. 8.14 WI). Estas frequências aparentemente seguem um ciclo anual regular, com a época mais úmida do ano sendo o verão (~Junho-Agosto), e com primaveras e outonos secos, separados por um periodo de inverno (~Novembro-Janeiro) um pouco menos seco. Esta série temporal também exibe flutuações irregulares de curto-prazo que ocorrem provavelmente por causa de variações amostrais particulares dos anos analisados. Isto é, se um outro conjunto de anos fosse tomado, o padrão geral se manteria mas os detalhes das ‘ondulações’ individuais seriam certamente diferentes.
Embora a existência de um ciclo anual seja evidente, é claro também que o mesmo não se assemelha a uma simples onda co-senoidal. Contudo, este ciclo é razoavelmente bem representado por uma curva alisada, a qual é, na realidade, uma representação de TRÊS HARMÔNICOS. Isto é, a curva alisada é o ‘plot’ da Eq. 2.31 com k =3. O valor médio é 61.4%, e os parâmetros para os dois primeiros harmônicos são:
C1=13.6%, f1=72º =0.4p, C2=13.8%, e f2=272º =1.51p. O valor médio anual= 61.4%. Estes valores podem ser calculados a partir dos dados usando as Eqs. 2.33 e 2.34. A combinação da soma de todos os possíveis (365-1)/2 = 182 harmônicos resultaria em uma função irregular tal e qual aquela original (Fig. 8.14 WI).
____________________________________________________________________________________________ Exercício 10
Baseado nas informações acima, isso é: C1=13.6%, f1=72º =0.4p, C2=13.8%, e f2=272º =1.51p. O valor médio anual= 61.4%
Reconstrua a série temporal das probabilidades de 5 dias secos em El Paso utilizando os dois primeiros harmônicos e a média. Use o Excel para seus cálculos. Faça um gráfico dos dois Harmônicos e da soma de ambos como resultado. Comente: em que situações o máximo da série temporal reconstruída é atingido? E o mínimo? Embora não tenham sido fornecidos os coeficientes do terceiro harmônico, qual seria o papel do mesmo na reconstrução da série?
Observe que 365 dias correspondem a 360 graus ou 2p radianos.
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O resultado desse exercício mostra a construção de uma curva alisada representando o ciclo anual da Fig. 8.14 de WI.
Nota:
Por exemplo, suponha k=2. Como obter f2 ? Vimos que f2 e' obtido quando o argumento do co-seno e' tal que o co-seno e' maximo (igual a 1): ou seja: cos(2pkt/n-f2)=1, o que e' satisfeito para k=2 quando 2pkt/n - f2 = 0. Assim, o tempo t para qual o harmônico atinge o primeiro maximo e' atingido quando: t1 = (n/2p) (f2/2) = Constante (f2/2) o segundo maximo t2 e' atingido para t1 + p. Raciocínio similar pode ser deduzido para harmônicos mais altos
6. “Harmonic Dials" (Discos harmônicos) (WI)
É bastante usual em climatologia expressarmos de forma sintética as informações contidas num harmônico como fase e amplitude. Para isso, é usado um tipo de representação gráfica conhecida em inglês como “harmonic dial”. Tratam-se de pequenos “reloginhos” cujo tamanho do “ponteiro” representa a amplitude Ck e a orientação angular do mesmo a sua fase fk. Geralmente, os mapas de ‘harmonic dials’ incluem uma legenda que permite a uma reconstrução aproximada dos valores numéricos da amplitude e fase para cada local. Além disso, tais mapas podem permitir uma interpretação espacial de grande-escala de tendências das fases e amplitudes da variável estudada. Por exemplo, a figura abaixo representa um “harmonic dial” onde a seta representa uma amplitude Ck= 35% Para o exemplo de El Paso, vimos que o primeiro harmônico possui amplitude C1~ 13% e fase f1 = 72º . _____________________________________________________________________________________________ Ex. 10 a- Supondo a escala estabelecida pelo disco abaixo, desenhe o ‘harmonic dial’ para k=1 (primeiro harmônico). Qual a época do ano em que o primeiro harmônico é maximizado?
Ex. 10b. Suponha que você estivesse analisando a probabilidade de 5 dias secos em São Paulo. Sabendo como se comporta aproximadamente o ciclo anual das chuvas nesta região, represente esquematicamente a direção do disco harmônico, seguindo a orientação dos meses apontada acima.
Note que a orientação angular do harmônico indica a fase. Desenhamos uma flecha (isto é, com ‘ >’ no final do segmento) apenas no caso do primeiro harmônico que possui um único máximo. Para harmônicos de ordem maior, existe mais do que um máximo e por esta razão não há sentido em se incluir o ‘>’ no fim da seta. Assim, apenas no caso do primeiro harmônico, o final da flecha ‘>’ aponta para a data na qual o primeiro harmônico é maximizado. Similarmente, não existe ‘>’ no final do segmento representando um segundo harmônico, porque o mesmo possui 2 máximos.
Para o exemplo de El Paso, vimos que o segundo harmônico possui amplitude C1 ~ 13.8% e fase f2 = 272º . Como discutido na nota acima, existem 2 máximos localizados em f2/2 e f2/2 + p. No ‘harmonic dial’ esquematizado abaixo, o comprimento do segmento representa 21 %. Note que o mesmo não possui um sentido único representado por ‘>’.
___________________________________________________________________________________________ Ex. 10 c- Supondo a escala estabelecida pelo disco abaixo agora em 21%, desenhe o ‘harmonic dial’ para k=2 (segundo harmônico) considerando os 2 máximos. Quais épocas do ano em que o segundo harmônico é maximizado?
Assim, um mapa com os discos harmônicos pode nos indicar diferenças nos ciclos anuais do parâmetro ou variável estudada em uma dada região. Pode-se até mesmo inferir variações regionais e discernir regimes (como estações secas e chuvosas). O tamanho das setas do harmônico 1 indica quão pronunciadas são as diferenças entre uma estação e outra . Por exemplo, se a variável precipitação estiver sendo analisada, regiões com grandes amplitudes do primeiro harmônico serão aquelas que possuem uma grande distinção entre uma estação chuvosa e outra seca. No caso do exemplo, se a seta tiver grande amplitude e apontar para julho/agosto, podemos dizer que essa é a estação seca, a qual se diferencia pronunciadamente da estação chuvosa. De modo inverso, um ciclo anual com pouca amplitude indica que se trata de um ciclo ‘mais complicado’, com pouca variação sazonal, como é o caso de El Paso.
Regiões do tipo desérticas (isto é, pouca variabilidade na probabilidade de secas durante o ano), devem apresentar baixa amplitudes do primeiro harmônico.
Analogamente à interpretação do primeiro harmônico, grandes amplitudes do segundo harmônico que forem comparáveis ao primeiro (ou mesmo maiores) indicam que existe uma tendência a existirem duas estações relativamente secas e duas relativamente chuvosas.
SEMINÁRIO -1 PARA DISCUSSÃO EM AULA: (APENAS PARA A POS-GRADUAÇÃO)
A APRESENTAÇÃO DESSE SEMINÁRIO CONTARÁ COMO NOTA DE AVALIAÇÃO (VALENDO DE 0 A 10).
NO MÁXIMO 3 ALUNOS POR GRUPO DE DISCUSSÃO E ESTÃO PREVISTOS ~ 30 MINUTOS PARA CADA GRUPO. IMPORTANTE: TODOS OS ALUNOS DO GRUPO DEVEM PARTICIPAR DA DISCUSSÃO
7. Considerações sobre Funções Harmônicas (WI)
Vimos que, assim como com a aplicação de mínimos quadrados sugerida pela Eq. 2.31, as Eqs. 2.33 e 2.34 podem produzir estimativas dos coeficientes Ak e Bk desde que os dados sejam igualmente espaçados e não haja valores faltantes. Note ainda que as Eqs. 2.33 e 2.34 não dependem de nenhum outro harmônico a não ser dos próprios coeficientes que estão sendo calculados. Isto é, dependem apenas do valor corrente de k e não de k-1 ou k-2 , ou qualquer outro k. Isto implica que os coeficientes Ak e Bk para qualquer harmônico particular podem ser calculados independentemente dos demais harmônicos. Lembre-se que usualmente os parâmetros de regressão precisam ser calculados cada vez que uma variável nova preditora entra para a equação de regressão múltipla, e cada vez que uma variável preditora é removida de uma equação de regressão. A necessidade de recalcular a regressão ocorre no caso de conjuntos de preditores que são mutualmente correlacionados, porque preditores correlacionados carregam informações redundantes em maior ou menor extensão (v. Cap. 6 de WI). A não-correlação entre as funções harmônicas é uma propriedade importantíssima, de modo que os parâmetros amplitude e fase (por exemplo) para o primeiro ou segundo harmônico são os mesmos independentemente se eles serão usados na equação com o terceiro, quarto ou demais harmônicos. Bem, em outras palavras, esta propriedade decorre da chamada ORTOGONALIDADE dos senos e co-senos. Assim, para índices inteiros dos harmônicos k e j:
e
Agora, vamos considerar as seguintes transformações:
x1 = cos[2pt/n] e x2 = cos[2p(2t)/n]
O coeficiente de correlação de Pearson é determinado como:
e, recordando que a média de x1 e x2 num número inteiro de ciclos é igual a zero:
porque o numerador é igual a zero da Eq. 2.36a.
Uma vez que as relações entre os harmônicos preditor das variáveis e a série de dados yt não dependem de quais harmônicos estão sendo usadas para representar a série, a proporção da variância de yt relativa a cada harmônico também pode ser fixada. Essa proporção pode ser representada pela conhecida estatística R2, comumente calculada em regressões. Neste caso, para o k-ésimo harmônico é simplesmente:
que, em termos de análise de variância da regressão, numerador representa a soma dos quadrados do k-ésimo harmônico. No denominador temos a variância da série de dados. Note, portanto, que a intensidade da relação entre o k-ésimo harmônico e a série de dados é expressa inteiramente pela amplitude Ck. O ângulo de fase fk é necessário apenas para determinar o posicionamento da cura do co-seno no tempo. Além disso, uma vez que cada harmônico fornece informação independente sobre a série de dados, podemos definir a relação:
É imediato deduzir que se todos os n/2 possíveis harmônicos forem usados como preditores, então R2 total na equação 2.39 será igual a 1. ___________________________________________________________________________________ |
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