MÉTODOS OBSERVACIONAIS EM CLIMATOLOGIA E METEOROLOGIA DE MESOESCALA

NOTAS DE AULA

ALGORITMOS PARA A REMOÇÃO DE CICLOS ANUAIS (PARTE-II)

•  Continuação Módulo - I.b 

2.5 DOMÍNIO DE FREQÜÊNCIA : ANÁLISE HARMÔNICA (WI)

            Análises no domínio de freqüência envolvem a representação das séries temporais em termos de contribuições feitas em diferentes escalas de tempo. Por exemplo, uma série temporal de dados de temperatura horária de uma localização em latitudes médias irá, em geral, exibir fortes variações tanto na escala de tempo diária (correspondendo ao ciclo anual de aquecimento solar) e na escala de tempo anual (refletindo a marcha das estações). No domínio do tempo, estes ciclos apareceriam como valores positivos altos na função de auto-correlação para “lags” em (ou aproximadamente em) 24 h para o ciclo diurno e 24x365 = 8760h para o ciclo anual. Quando pensamos nas séries no domínio de freqüência, estamos falando de contribuições para o total da variabilidade das séries temporais em períodos de 24 e 8760h, ou em freqüências de 1/24 = 0.0417 h^-1 e 1/8760 = 0.000114 h^-1.

            A análise harmônica consiste da representação de flutuações ou variações em uma série temporal que se originou da adição de uma série de funções seno e co-seno. Estas funções trigonométricas são “harmônicos” que são escolhidos como tendo freqüências que são múltiplas da freqüência “fundamental” determinada pelo tamanho amostral da série de dados. 

2.5.1 Funções seno e co-seno (WI)

            Vamos aqui rever brevemente a natureza das funções cos(a) e sin(a). O argumento de ambas é a quantidade a, medida em unidades de ângulo. Estas unidades podem ser tanto em graus ou radianos. A figura 2.1 mostra porções de um cos (linha sólida) e seno (linha tracejada), no intervalo angular que varia de 0 a 5p/2 (0- 450º).

            As funções seno e co-seno estendem-se até ângulos indefinidamente grandes positivos ou negativos. O mesmo padrão de onda se repete a cada 2p radianos ou 360º, tal que:

cos(2pk + a)=cos(a)   (2.15)

Onde k é um inteiro qualquer. Uma equação análoga vale para a função seno. Isto é, ambos seno e co-seno são periódicos. Ambas funções oscilam em torno de seu valor médio igual a zero e tem valor máximo de +1 e mínimo de -1. A função co-seno é maximizada a 0^o, 360º, e assim por diante, enquanto a função seno é maximizada a 90º, 450º, e assim por diante. Estas duas funções têm exatamente a mesma forma, mas estão deslocadas uma em relação a outra por 90º. Em outras palavras, se você deslocar a função co-seno para a direita em 90º, produz a função seno e deslocando o seno para esquerda em 90º produz a função co-seno:

 (2.16)

e

 (2.17)

Figure 1. Trechos da função seno (linha tracejada) e co-seno (linha sólida) para intervalos entre 0^o e 450^o, ou 0 a 5p/2 radianos. Cada curva executa um ciclo completo a cada 2p radianos e se estende de -¥ a +¥.

2.5.2. Representação de uma série temporal simples com uma Função Harmônica. (WI)

Mesmo na situação mais simples de uma série temporal que possui um caráter senoidal e executa um único ciclo sobre o curso de n observações, existem três pequenas dificuldades a serem superadas a fim de se usar um seno ou co-seno para representá-la:

1)      O argumento de uma função trigonométrica é um ângulo, enquanto os dados da série são função do tempo.

2)      As funções co-seno e seno flutuam entre +1 e -1, enquanto os dados geralmente flutuam entre diferentes limites.

3)      A função co-seno tem máximo valor para a=0 e a=2p. Ambos seno e co-seno podem assim estar posicionados arbitrariamente na horizontal com respeito aos dados.

A solução para o primeiro problema aparece quando consideramos o comprimento dos dados (n) como constituindo um ciclo completo, ou período fundamental. Uma vez que o período fundamental corresponde a 360º ou 2p radianos em medida angular, é fácil re-escalar proporcionalmente o tempo à medida angular usando:

 (2.18)

ou

   (2.19)

Em outras palavras, se considerarmos um ciclo completo o número total de pontos n de uma série temporal, então conforme andamos em t, as equações 2.18 e 2.19 indicam em que proporção t encontra-se desse ciclo completo. Assim, a quantidade:

 (2.20)

é chamada de FREQÜÊNCIA FUNDAMENTAL. Esta quantidade é uma freqüência angular e tem dimensões físicas de radianos por unidade de tempo. A freqüência fundamental corresponde ao período igual ao comprimento dos dados. O subscrito ‘1’ indica que w₁ pertence a onda que executa um CICLO COMPLETO sobre a série de dados inteira.

O problema (2) acima é tratado fazendo-se um deslocamento da função seno ou co-seno para cima ou para baixo do nível geral dos dados, e então “esticando” ou “comprimindo” verticalmente até que seu intervalo corresponda ao dos dados. Como isso pode ser feito? Uma vez que a média de uma onda co-seno ou seno pura é zero, simplesmente adicionar o valor médio da série de dados ao co-seno assegura que o mesmo irá flutuar em torno do valor médio. O “esticamento” ou a “compressão” pode ser obtido pela multiplicação de uma função seno ou co-seno por uma constante C₁ que é conhecida como AMPLITUDE. Novamente, note que o subscrito 1 significa que trata-se da amplitude do HARMÔNICO FUNDAMENTAL.  Uma vez que as funções seno e co-seno possuem máximo e mínimo entre ± 1, é bastante óbvio mostrar que o máximo/mínimo dessas funções quando multiplicadas pela amplitude C₁ é igual a ± C₁. Assim, se combinarmos as soluções dos problemas (1) e (2) temos para a série temporal:

  (2.21)

Normalmente, há situações em que é necessário transladar uma função harmônica lateralmente a fim de ter um casamento de cristas e cavados na série de dados. Este tipo de desenvolvimento é mais conveniente quando a função co-seno é utilizada, porque esta função possui máximo valor quando o ângulo na qual ela opera é zero. Mudar a função co-seno para a direita por um ângulo f₁ resulta em uma nova função que é maximizada em w₁t=2pt/n=f_1,

 (2.22)

O ângulo f₁ é chamado de ângulo de fase ou fase. Mudar a função co-seno para a direita desta quantidade requer subtrair a fase f_1, de modo que o argumento da função co-seno é zero quando (2pt/n)=f₁, o que equivale a dizer que a y_t em 2.22 é maximizada para t=f₁n/2p.

Para compreender a aplicação das eqs. 2.20 a 2.22, faça o exercício proposto 7.

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Exercício-7. Considere os dados a seguir, correspondentes à temperatura média obtida em em Ithaca (NY):

Table 1- Temperatura média mensal

a)      Plote a curva em questão no Excel. Determine w₁ e calcule a função co-seno para todos os meses da tabela plotando no mesmo gráfico.

b)      Determine a média e a função yt como em 2.21, isto é, re-escalone a função co-seno considerando a amplitude C1 como metade do intervalo entre o máximo e o mínimo da série. Plote os resultados no mesmo gráfico.

c)      Determine a função yt como em 2.22, isto é, ajuste a fase f₁. Discuta como isso foi feito.

Desafio-6a. Utilize uma série temporal de dados em que você esteja trabalhando (mensal, diária ou pentadal), ou use uma das séries temporais que foram fornecidas no curso. Calcule a média mensal dos dados, obtendo uma tabela semelhante à Tabela-1. Faça os itens (a) a (c), conforme indicado acima. Note que, não necessariamente, você irá observar uma série com um ciclo anual semelhante ao que foi observado no exercício. Você também pode efetuar seu trabalho utilizando dados que não são anuais e interpretar o que significa o primeiro harmônico nesse caso.  

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2.5.3. Estimativa de Amplitude e fase de um único harmônico (WI)

            No exercício 8 do modulo-1a, estimou-se C1 e f₁ de uma forma mais grosseira. Existem formas mais adequadas de se fazer o mesmo procedimento. O método mais simples é usar a identidade trigonométrica:

    (2.23)

Substituindo a=2pt/n (Eq. 2.19) e multiplicando-se ambos os lados pelas amplitudes C1, obtém-se:

  (2.24)

onde,

     (2.25)

e

    (2.26)

            A Equação 2.24 indica, portanto, que um harmônico que possui amplitude C1 e fase f₁ é equivalente a soma de um seno com um co-seno, ambos sem deslocamento de fase. Note que o seno aparece justamente como uma expansão de um co-seno de a menos a fase. São justamente B1 e A1 os coeficientes que irão modular a amplitude do harmônico com o tempo. Note que ambos coeficientes B1 e A1 são determinados pelo seno e co-seno da fase, respectivamente. Fazendo a transformação de variáveis da Eq. 2.24 tal que x₁=cos(2pt/n) e x₂=sin(2pt/n), temos uma equação resultante que é uma equação de regressão com dois preditores. Desta forma, dada a série de dados y_t, pode-se aplicar a essa transformação qualquer software que ache uma estimativa de regressão com o método de mínimos quadrados para encontrar os coeficientes A₁ e B₁, tendo y_t como preditando.  O mesmo pacote de regressão irá produzir a média dos valores do preditando como o intercepto b_o. Pode-se então encontrar C1 resolvendo o sistema das equações 2.25 e 2.26, ou seja:

Þ   (2.27)

Para se encontrar a função de fase f₁, são resolvidas as seguintes equações:

                          (2.28)

• Nota: uma vez que as funções trigonométricas são periódicas, o mesmo ângulo de fase é produzido se adicionarmos ou subtrairmos 180º (meio círculo) se A₁<0. Decidimos se somamos ou subtraímos 180º dependendo da relação 0 < f £ 2p

Para encontrarmos os parâmetros A₁ e B₁ podemos usar o método de mínimos quadrados. Para casos especiais em que os valores dos dados estão igualmente espaçados no tempo com nenhum dado faltante (missing values) as propriedades do seno e co-seno permitem que os parâmetros de mínimos quadrados sejam obtidos mais facilmente usando:

     (2.29)

e

     (2.30)

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Exercício-8: Para os dados do Exercício 7, obtenha os coeficientes do harmônico anual da temperatura em Ithaca: A₁, B_1, C₁ e a fase f_1. Use o Excel para fazer seus cálculos e compare com a fase (em graus) e o coeficiente C1 obtidos pelo método do “olhômetro” do exercício anterior. Comente o que essas diferenças podem significar na interpretação dos resultados.

Desafio-7b. Se você utilizou uma serie temporal distinta da fornecida, encontre os coeficientes para esta série.

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2.5.4 Harmônicos de ordem mais elevada: (WI)

            Nos cálculos efetuados nos exercícios 7 e 8 produziu-se uma única função dcosseno passando próxima aos 12 meses de temperaturas médias. Este ajuste bom ocorreu porque a forma do ciclo anual de temperatura na localidade em questão é aproximadamente senoidal, com um ciclo completo executado nos 12 pontos da série temporal. Em geral, não se espera que um único harmônico irá representar todas as demais séries temporais de temperatura em diferentes localidades. Entretanto, se adicionarmos mais preditores a uma regressão múltipla poderá melhor o ajuste de um conjunto de dados, adicionando mais ondas do tipo co-seno a uma análise harmônica irá melhorar o ajuste a uma série temporal.

            Assim, dada uma série temporal consistindo de n pontos, a mesma pode ser exatamente reproduzida. Isto significa que é possível encontrar uma função harmônica que passa através de cada um dos pontos e isso é feito adicionando uma série de n/2 funções harmônicas:

  (2.31)

 Note que o índice k na equação acima indica que a Eq. 2.24 vale para qualquer co-seno, independentemente de sua freqüência. A onda de co-seno obtida para k=1 na Eq. 2.31 é, portanto, o primeiro harmônico determinado anteriormente. Os outros n/2 - 1 termos da somatória da Eq. 2.31 são harmônicos de ordem mais alta, ou ondas co-seno com freqüências:

    (2.32)

que são múltiplos inteiros da freqüência fundamental w₁. Note ainda que cada onda representada pelo co-seno possui sua própria fase f e sua própria amplitude C. Portanto, k dentro da equação é de suma importância.

Primeiro harmônico: k=1, a=2pkt/n, fase f₁ e amplitude C₁

® um ciclo completo (0 a 2p rad) para t=0 a t=n

 Segundo harmônico:  k=2,  a=2pkt/n, fase f₂ e amplitude C₂

® um ciclo completo (0 a 2p rad) para t=0 a t=n/2

                                                            ® um ciclo completo para t=n/2 e t=n

Terceiro harmônico: k=3, a=2pkt/n, fase f₂ e amplitude C₂

                                                                                ® três ciclos completos entre t=0 e t=n

Os coeficientes A_k e B_k podem ser encontrados, NO CASO MAIS GERAL, (Eq. 2.31) usando-se método de regressão linear múltipla, após as transfomações de dados x₁=cos(2pt/n), x₂=sin(2pt/n), x₃= cos(2p2t/n), x₄= sin(2p2t/n), x₅= cos(2p3t/n), x₆= sin(2p2t/n) e assim por diante.

PARA SÉRIES TEMPORAIS IGUALMENTE ESPAÇADAS NO TEMPO (SEM VALORES FALTANTES (MISSING VALUES): Podemos generalizar as equações 2.29 e 2.30 para:

  (2.33)

e

  (2.34)

Como determinar os coeficientes A_k e B_k? Fica evidente pelas Eqs. 2.33 e 2.34 que a determinação desses coeficientes é viável usando-se um programa de computador. Nesse caso, o algoritmo utilizaria um contador para o k (isto é, fixa-se k) e faz-se a somatória do cosseno (ou seno de a) de t=1 a t=n (ou seja, t é um outro contador que deverá fazer o ‘looping’ ou somatória que será interno ao looping do contador k). Esse raciocínio pode ser também aplicado para uso dentro do Excel, por exemplo. No entanto, para séries muito grandes, usa-se um método mais eficiente que será comentado adiante.

             Uma vez calculados estes coeficientes, temos então que obter a fase e a amplitude do harmônico.

a) Amplitude: 

   (2.35a)

O algoritmo para encontrar C_k é, portanto,  muito simples, uma vez achados A_k e B_k e deve ser feito após o looping da somatória. Quanto à fase, deve-se primeiro testar o coeficiente A_k e resolver:

                              (2.35b)

•     Quantos harmônicos podem ser determinados? Notem que uma função de regressão múltipla irá passar por todos os pontos de dados e irá exibir R²=100% se o número de preditores é o mesmo que número de dados. A série de cossenos da Eq. 2.31 é um exemplo. Quer dizer, os n/2 harmônicos que aparecem na somatória da Eq. 2.31 implica na existência de n variáveis preditores. Uma vez que a média amostral da Eq. 2.31 é efetivamente um dos parâmetros estimados, correspondentes ao intercepto b_o, um ajuste para a Eq. 2.31 é necessário quando n é ÍMPAR. Neste caso, uma soma sobre apenas (n-1)/2 harmônicos é requerida para representar completamente a função. Isto é, (n-1)/2 harmônicos são requeridos para completamente representar a função.  Isto é, para n ÍMPAR:

   

  (n-1)/2 amplitudes + (n-1)/2 ângulos de fase + a média amostral = n

   

   

  Para n PAR: A somatória da Eq. 2.31 continua sendo até n/2. Entretanto, temos

   

  (n)/2 amplitudes + [(n)/2 – 1] ângulos de fase + a média amostral = n

   

  Neste caso, o ângulo de fase para o harmônico final e mais alto f_n/2  = 0

   

•  Quantos harmônicos podemos usar? A resposta para esta pergunta depende das finalidades. Podemos usar todos os n/2 harmônicos se queremos uma função que represente exatamente através de todos os pontos da série. Contudo, se o objetivo é representar o ciclo anual de uma quantidade climatológica, os primeiros poucos harmônicos podem fornecer uma representação adequada. É isso que se faz na prática.

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Exercício-9a: Para os dados do Exercício 7, obtenha os coeficientes do segundo e terceiro harmônicos da temperatura em Ithaca_. Use o Excel para fazer seus cálculos compare com o exercício anterior e comente os resultados.

Exercício 9b: (Tarefa de casa): Utilize dados paleoclimáticos da radiação solar (encontram-se no link 'dados') e calcule a amplitude do harmônico correspondente a 11 e 22 anos. Discuta seus resultados

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•  Continua no Modulo I-c

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Last modified: 11/08/05