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ANALISE ESPECTRAL SERIES TEMPORAIS (Continuação Modulo 1-C)
8. Análise espectral (Domínio de Freqüência ) (WI) Vimos na definição da Eq. 2.31 que uma série temporal yt de comprimento n pode ser completamente especificada em termos dos n parâmetros, usando-se n/2 funções harmônicas. Isto é equivalente a transformar a série de dados yt em novos conjuntos de quantidades Ak e Bk de acordo com as Eqs. 2.33 e 2.34. Por esta razão, as Eqs. 2.33 e 2.34 são chamadas de TRANSFORMADAS DE FOURIER DISCRETAS. De maneira análoga, a série yt pode ser representada como as n quantidades Ck e fk os quais, por outro lado, são obtidos através de Ak e Bk usando as transformações descritas nas Eqs. 2.35. Note que, de acordo com 2.39, ESTA TRANSFORMAÇÃO EXPLICA TODA A VARIAÇÃO DA SÉRIE Yt. Assim: a coleção de coeficientes de Fourier Ak e Bk ,que são função da freqüência ωk, representam um jeito diferente de olhar para a série yt, a qual constitui-se em um conjunto de pontos medidos como função do tempo. Vantagens: permite ver separadamente as contribuições de PROCESSOS VARIANDO EM DIFERENTES VELOCIDADES, o que é equivalente a PROCESSOS OPERANDO EM UM ESPECTRO DE DIFERENTES FREQUÊNCIAS. Uma analogia muito interessante é encontrada em Panofisky e Brier (em Some Applications of Statistics to Meteorology. Pennsylvania State University, University Park, 224pp, 1958). Eles dizem “Um espectro óptico mostra as contribuições de diferentes comprimentos de ondas ou freqüências para a energia de uma dada fonte de luz. O espectro de uma série temporal mostra as contribuições das oscilações com várias freqüências para a variância total de uma série” Importante ainda notar que mesmo que os mecanismos físicos básicos que geraram uma série temporal yt não forem realmente bem representados por uma série de ondas co-seno, freqüentemente pode-se ainda aprender muito sobre os dados em vê-los o tratá-los sob esta perspectiva.
8.1 O Periodograma ou Linha Espectral de Fourier
As características de uma série temporal que foram obtidas por transformadas de Fourier no domínio de freqüência são comumente examinadas graficamente, usando um plot conhecido como PERIODOGRAMA, ou LINHA DE ESPECTRO DE FOURIER (Fourier Line Spectrum). Este tipo de gráfico é as vezes chamado de ESPECTRO DE POTÊNCIA (Power Spectrum) ou simplesmente ESPECTRO de uma série de dados. Na sua forma mais simples, este plot de um espectro consiste das amplitudes ao quadrado (Ck)2, como função da freqüência ωk. O eixo vertical é algumas vezes numericamente re-escalonado, neste caso os pontos plotados são proporcionais ao quadrado das amplitudes. Uma escolha para este re-escalonamento proporcional está na Eq. 2.38. NOTE AINDA QUE A INFORMAÇÃO DA FASE NÃO APARECE NO ESPECTRO. Portanto, o espectro Lea em conta a proporção da variação nos dados originais que é referente às oscilações para as freqüências harmônicas, mas NÃO FORNECE INFORMAÇÃO SOBRE QUANDO NA SÉRIE ESTAS OSCILAÇÕES SÃO EXPRESSADAS. É comum para o eixo vertical de um espectro ser plotado na escala logarítmica. Plotando o eixo vertical logaritmicamente é particularmente útil se as variações nas séries temporais estão dominadas por harmônicos de apenas umas poucas freqüências. Neste caso, o plot linear resultaria no restante dos componentes espectrais praticamente invisíveis. Um eixo vertical logarítmico também regulariza a representação de limites para as estimativas espectrais. O eixo horizontal de um espectro consiste de n/2 freqüências ωk se n é par e (n-1)/2 freqüências se n é impar. · Qual a menor ou mais baixa destas freqüências? Certamente a mais baixa, relativa ao harmônico fundamental ω1=2π/n, e corresponde à onda co-seno que executa um ciclo inteiro sobre os n pontos da série (lembrem os conceitos vistos nas aulas anteriores). · Qual a maior ou mais alta destas freqüências? A chamada freqüência de Nyquist, ωn/2=π. Esta freqüência, conforme vimos anteriormente, é a freqüência da onda co-seno que executa um ciclo inteiro em apenas dois intervalos de tempo entre dados igualmente espaçados, o que implica que executa n/2 ciclos sobre o comprimento inteiro de dados. A freqüência de Nyquist depende, portanto, da resolução da série de dados original yt, e impõem importante limitações na informação disponível da análise espectral.
O eixo horizontal é, em geral, simplesmente a freqüência angular ω, com unidades de radianos/tempo. Uma alternativa comum é usar as freqüências:
que, neste caso, tem dimensão de tempo-1. Usando esta convenção, as freqüências permitidas variam num intervalo entre f1=1/n para a freqüência fundamental a fn/2=1/2 para a freqüência de Nyquist. Também se pode usar no eixo das abcissas o período do k-ésimo harmônico:
Evidentemente, o PERÍODO especifica o comprimento de tempo requerido para completar um ciclo de freqüência ωk. Associando períodos com as estimativas do periodograma pode ajudar a visualizar as escalas de tempo nas quais as variações importantes dos dados estão ocorrendo.
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Abra o arquivo Excel abaixo e determine as freqüências fk e os períodos τk destacando a freqüência de Nyquist. Determine também as amplitudes Ck. Abaixo encontra-se reproduzida a tabela: Tabela 2: Temperatura media mensal (oF) para Ithaca, NY, para 1987/88
__________________________________________________________________________________ Para dados como os mostrados na tabela, nota-se claramente que a primeira característica típica será o ciclo anual com invernos frios e verões quentes. Uma onda co-senoidal com período de 12 meses, em princípio, poderia ser ajustada aos dados. Entretanto, uma onda com esse período pode não passar por todos os dados. ______________________________________________________________
Determine a fase para o harmônico que representa o ciclo anual (período de 12 meses). Encontrando a fase e sabendo a média de yt, plote no mesmo gráfico o co-seno que representa essa onda ___________________________________________________________ Uma vez que n=24 é um número par, os dados estão completamente representados por n/2 = 12 harmônicos. Estes estão indicados pelo índice k na tabela-2. No exercício foi achado o período e a freqüência respectiva. O período da freqüência fundamental é T=24 meses, é igual ao comprimento dos dados. Uma vez que existem ciclos anuais em n=24 meses, é, de fato, para k=2 (o segundo harmônico) com período T=24/2=12 meses que é esperado ser o mais importante. Os coeficientes Ak e Bk que seriam usados na Eq. 2.31 para reconstruir os dados originais estão mostrados também na tabela. Estes constituem a transformada de Fourier da série de dados de temperaturas. Notem que existem apenas 23 coeficientes da série de Fourier, porque 24 partes independentes de informação estão sendo necessárias para representar integralmente os n = 24 pontos de dados, incluindo a média amostral. Para usar a Eq. 2.31 para reconstruir os dados, apenas teríamos que substituir B12 = 0. Na tabela também estamos calculando as amplitudes Ck. Os ângulos de fase também podem ser calculados usando-se as Eqs. 2.36, mas estas não são necessárias para calcular o espectro.
Calcule o espectro da série de dados
conforme indicado pela equação 2.38. Determine a contribuição relativa de cada
um dos
Como iremos observar com o exercício, as variações do ciclo anual dominam estes dados, mas o fato das amplitudes dos outros harmônicos serem diferentes de zero indica que os dados não consistem de uma onda co-seno pura com uma freqüência f2=1 ano-1. Notem ainda que a escala logarítmica no eixo vertical tende a não enfatizar as contribuições baixas dos outros harmônicos. Notem ainda na sua planilha que se esta escala não tivesse sido escolhida, as contribuições menos relevantes simplesmente desapareceriam do gráfico.
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