ANÁLISE ESPECTRAL: CONTINUAÇÃO

1) CÁLCULO DE ESPECTROS (WI)

            Um jeito de calcular o espectro de uma série de dados é simplesmente aplicar as Eqs. 2.33 e 2.34 (ou seja, encontrar os A_k e B_k) e então encontrar as amplitudes (Ck). Esta é uma aproximação razoável para séries de dados relativamente curtas e pode ser facilmente programadas usando, por exemplo, o Excel. Estas equações seriam implementadas apenas para k=1, 2,...,(n/2 – 1). Na realidade, queremos exatamente n coeficientes de Fourier (somando todos os Ak e Bk temos n coeficientes a determinar) para representar os n pontos da serie de dados. Assim, para calcularmos o harmônico mais alto k=n/2, fazemos uso do seguinte:

               (2.42)

                            para n par ou ímpar            (2.42b)

            Embora apresente uma notação bastante direta e simples, este método de cálculo da transformada de Fourier discreta é bastante ineficiente computacionalmente. Em particular, muitos dos cálculos de Bk e Ak são redundantes. Considere, por exemplo, os dados da Tabela 2 para Abril de 1987. Lembrando que

Então, para k=1 e t=4, temos yt=8.72^oC e o termo fica:  

(8.72º C)sin[(2π)(1)(4/24)]=(8.72)(0.866)=7.55^oC

Porém, se considerarmos o termo envolvendo o mesmo tempo t=4, mas para k=2 temos:

(8.72º C)sin[(2π)(1)(2/24)]= (8.72)(0.866)=7.55^oC, ou seja, exatamente a mesma coisa!

Como estas, existem muitas outras redundâncias no cálculo que tomam tempo computacional se utilizarmos o conjunto de equações 2.33 e 2.34. Estas redundâncias podem ser evitadas usando-se as chamadas TRANSFORMADAS RÁPIDAS DE FOURIER, ou, em inglês como são mais conhecidas  “FAST FOURIER TRANSFORMS (FFTs). A maior parte dos pacotes científicos computacionais possuem uma ou mais rotinas FFT, as quais fornecem substancial melhora na velocidade dos cálculos, especialmente conforme o comprimento do tamanho da série de dados aumenta. Em comparação aos cálculos dos coeficientes de Fourier usando a aproximação da regressão (as equações 2.33 e 2.34), a FFT é aproximadamente n/log₂(n) mais rápida (ou ~ 15 vezes mais rápida para n=100 e ~ 750 vezes mais rápida para n=10000)!”.

Deve-se notar que as FFTs são usualmente documentadas e implementadas em termos da notação exponencial complexa de Euler:

,                    (2.43)

Onde i é um número unitário imaginário satisfazendo a relação  e i²= -1. Exponenciais complexas são usadas ao invés de senos e co-senos puramente como uma conveniência notacional que faz algumas das manipulações menos trabalhosas. A matemática é ainda totalmente a mesma. Em termos de exponenciais complexas, podemos descrever a equação 2.31 (que descreve yt como função dos coeficientes de Fourier) como:

                          (2.44)

Isto é, a parte real de H_k é o coeficiente A_k, e a parte imaginária de H_k é o coeficiente B_k.

H_k = A_k + iB_k                                                    (2.45)

Isto é, a parte real de Hk é o coeficiente Ak, e a imaginária é o coeficiente Bk.

2) “ALIASING” (WI)

“Aliasing” (erro de atribuição) é um “risco” casual inerente às análises espectrais de dados discretos. Este risco acontece por causa dos limites impostos pelo intervalo de amostragem, ou o tempo entre pares de pontos de dados. Uma vez que um mínimo de 2 pontos é requerido mesmo para pensar em desenhar uma onda co-seno – ou seja, um ponto para o pico e outro para o cavado – a mais alta freqüência que podemos representar é a freqüência de Nyquist, com ω_n/2 = π, ou f_n/2 = 0.5. Uma onda desta freqüência executa um ciclo a cada dois pontos, e assim um conjunto de dados discreto não pode representar explicitamente variações que ocorram com maior freqüência.

Podemos imaginar o que acontece para o espectro de uma série de dados se ela inclui importantes processos físicos que variam mais rápido que a freqüência de Nyquist. Se assim o for, a série de dados é dita subamostrada (undersampled), o que significa que os pontos na série são muito espaçados para representarem apropriadamente estas variações rápidas. Contudo, variações que ocorrem em freqüências maiores que a freqüência de Nyquist não desaparecem. Ao invés, suas contribuições são espuriamente atribuídas a algumas baixas mas representativas freqüências, entre ω_n/2 e ω_n/2. Estas variações de alta-frequência são ditas como sendo “aliased” (i.e., parece ocorrer em um outro lugar).

A Figura abaixo ilustra o significado de “aliasing”.  Imagine que o processo físico que gerou seus dados seja representado pelos dados da curva tracejada. A série de dados yt é produzida pela amostragem deste processo em intervalos de tempo t resultando nos pontos indicados com X na curva. Suponha, assim, que você tenha apenas 5 dados no (ou n=5). Se assim for, a freqüência da curva tracejada é maior do que a freqüência de Nyquist, (veja que f=4/5 é maior do que f=1/2), significando que a série real oscila muito rápido para ser adequadamente amostrada na resolução dos pontos da curva preta. Ao contrário, se apenas a informação dos pontos discretos no tempo está disponível, estes dados apareceriam como uma função co-seno, à freqüência f=1/5, ou ω=2π/5, o que é mais baixa que a freqüência de Nyquist. Note que porque as funções co-seno são ortogonais, este mesmo efeito irá ocorrer independentemente se variações de diferentes freqüências também estão presentes nos dados.

Fig. 1. Suponha que os triângulos representem seus dados yt e que a curva preta represente um harmônico ajustado a esses dados. Contudo, se os dados da série tivessem na realidade sido produzidos pelo processo indicado pela curva vermelha tracejada, a curva ajustada estaria dando a impressão errônea de que a fonte de dados esteve na realidade flutuando na freqüência mais baixa. Notem que, embora o eixo dos tempos seja seqüencial de 1 a 14, a curva preta indica que os dados foram amostrados em maiores intervalos. Variações na freqüência em vermelho são ditas como sendo “aliased” na freqüência da curva em preto.

Assim, o efeito do ‘aliasing’ na análise espectral é que qualquer “energia” (quadrado das amplitudes) atribuídas aos processos variando em freqüências maiores que a freqüência de Nyquist serão erroneamente adicionados a algumas daquelas n/2 freqüências que estão representadas pelo espectro. A freqüência f_A > ½ será ‘aliased’ em uma das freqüências representáveis f(com 0 < f <= 1/2) se esta difere de um múltiplo inteiro de 1 tempo^-1, isto é,

f_A = j ± f, j = qualquer inteiro positivo      2.46

Em termos de freqüência angular, variações a uma freqüência ‘aliased’ ω_A parece ocorrer à freqüência representável ω se:

ω_A = 2πj ± ω,                          j= qualquer inteiro positivo.          2.47

            Estas equações implicam que o quadrado das amplitudes para freqüências maiores que a freqüência de Nyquist será adicionada àquelas representáveis num padrão como o de um acordeom, com cada “dobra” do acordem ocorrendo a um inteiro múltiplo da freqüência de Nyquist. Assim, decorrem as seguintes observações:

• Uma freqüência “aliased” f_A que é apenas ligeiramente maior que a freqüência de Nyquist f_n/2=1/2 está ‘aliased’ (parece ocorrer) a uma freqüência ligeiramente mais baixa que ½.
•  Freqüências ligeiramente mais baixas que 2 vezes a freqüência de Nyquist estão ‘aliased’ (parecem ocorrer) em freqüências apenas ligeiramente maiores que zero.
• O padrão então reverte para 2f_n/2 < f_A <3f_n/2 . Isto é, freqüências apenas maiores que 2f_n/2 parecem ocorrer a freqüências muito baixas
•  freqüências quase tão altas quanto 3f_n/2 parecem ocorrer em freqüências próximas a f_n/2.

Fig. 2. Ilustração do efeito de ‘aliasing’ em um espectro hipotético. O espectro verdadeiro (linha fraca) que exibe um pico em f=5/8, e um espectro amplo em f=19/16. Sendo ambas freqüências mais altas que Nyquist (f=1/2), estas são erroneamente atribuídas às freqüências indicadas (adaptado de WI - Fig. 8.20).

            A Fig. 2 (veja Fig 8.20 de WI) ilustra os efeitos de ‘aliasing’ num espectro hipotético. A linha mais clara representa o espectro verdadeiro, que exibe uma concentração de densidade em baixas freqüências, mas também tem um pico pronunciado em f=5/8 e um pico mais largo em f=19/16. Note que esses dois picos ocorrem em freqüências mais altas que a freqüência de Nyquist (f=1/2), o que significa que os dados não foram suficientemente amostrados para resolverem explicitamente os processos físicos que geraram os dados. As variações ocorrendo na realidade na freqüência f=5/8 parecem ocorrer (são ‘aliased’) à freqüência 3/8. Notem que esse pico é ligeiramente maior que a freqüência de Nyquist e, nesse caso, o ‘aliasing’ é mais próximo dessa freqüência também. De acordo com a Eq. 2.46, f_A = 1 – f = 1 – 3/8 = 5/8. No espectro, o quadrado da amplitude para fA = 5/8 está adicionado ao (genuíno) quadrado da amplitude para f = 3/8 no espectro verdadeiro. Similarmente, as variações representadas pela rampa centrada em 19/16 no espectro verdadeiro estão erroneamente atribuídas às freqüências em torno de f=3/16 (f_A = 1 + f = 1 + 3/16 = 19/16).

Infelizmente, uma vez que a série de dados foi coletada, não existe qualquer jeito de reverter o que foi erroneamente atribuído ao espectro (“desaliasing”). Isto é, não é possível descobrir a partir dos valores dos dados apenas se contribuições apreciáveis para o espectro foram feitas por freqüências maiores que fn/2, ou quão grandes estas contribuições podem ser. Na prática, é desejável ter um bom entendimento da base do processo físico que gerou as séries de dados que trabalhamos, tal que se possa antecipadamente que a taxa de amostragem é adequada. Claro que na maioria das vezes esse conhecimento é impossível e é exatamente o que se quer obter da análise dos dados.

De qualquer forma, uma boa dica é olhar para o espectro próximo da freqüência de Nyquist. Se o espectro não está indo para zero (como é o caso do espectro mostrado na figura 2), significa que existem chances de que o espectro verdadeiro possa ter contribuições em freqüências mais altas que a de Nyquist.

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Last modified: 11/08/05