RELAÇÃO ENTRE PERIODOGRAMA E FUNÇÃO DE AUTO-COVARIÂNCIA (CH)

 No módulo anterior, nós construímos o periodograma calculando as amplitudes R_k² de acordo com (2.38), isto é:

 Onde  é a amplitude do harmônico

 Da Eq. 2.38 podemos observar que existe uma relação entre o quadrado da amplitude e a variância da série s_y².

 Como B_k=0 para k=n/2, podemos escrever a seguinte relação:

   (P2.1)

 Esta expressão é conhecida como o teorema de Perseval. O lado esquerdo de P2.1 está efetivamente a variância das observações, embora o divisor seja N ao invés de (N-1). Assim C_k²/2 é a contribuição do k-ésimo harmônico para a variância e como a mesma está particionada de acordo com cada contribuição. Se plotamos C_k²/2 contra ω_k=2πk/N obtemos a linha de espectro. Este é o caso de observarmos num espectroscópio a luz proveniente de um gás excitado por uma corrente elétrica. A luz apresenta energias em frequências discretas e esta energia pode ser vista como linhas brilhantes. Mas a maioria das série temporais tem espectro contínuo, e então é inapropirado plotar a linha de espectro. Se tomarmos C_k²/2 como contribuição para a variância num intervalo ω_k±π/N, podemos plotar um histograma cuja altura no intervalo ω_k±π/N é tal que:

C_k²/2 = área do retângulo do histograma = altura do histograma × 2π/N

 Assim,:

 C_k²/2 = (2π/N)*altura

 Altura =  I(ω_k)=N C_k²/4π  (P 2.2)

  O plot de I(ω) versus ω é chamado de PERIODOGRAMA, muito embora I(ω) seja uma função de freqüência e não de período. Outros autores definem periodograma de uma forma ligeiramente diferente, como outros múltiplos de C_k²

 Uma vantagem da definição P2.2 é que a área total sob o periodograma é igual à variância da série temporal. A expressão P2.2 pode ser diretamente calculada a partir da série temporal dada por:

                     (P 2.3)

 A equação  (P.2.3) também se aplica para k=N/2. O periodograma parece ser um jeito natural de estimar a função densidade espectral, mas veremos que para um processo com espectro contínuo essa função fornece uma estimativa pobre e precisa ser modificada.

 RELAÇÃO ENTRE O PERIODOGRAMA E A FUNÇÃO DE AUTO-COVARIÂNCIA (CH):

 A ordenada do periodograma I(ω) e o coeficiente de auto-covariância c_m (notem que é c_m minúsculo para ser consistente com a nossa definição de auto-covariância vista anteriormente ) são ambos formas quadráticas dos dados (veja a Eq. P2.3). Também relembrem que vocês calcularam os correlogramas (r_m vs m), como o cálculo de c(m) dividido por c(0). Dessa forma, é interessante ver como estes, o periodograma e a função de auto-covariância, estão relacionados. Nós iremos mostrar que o periodograma é a transformada de Fourier finita de {c_m}. Usando que:

Podemos re-escrever P2.3 para k ≠ N/2 como

         =  

Mas (recordando a definição de auto-covariância):

E:

 Tal que:

     (P 2.4)

 Nota-se que P2.4 é a transformada de Fourier finita (assumindo c_m=0 para  ≥ N)

Aula sobre relação espectro-autocovariância .doc

[ Home ] [ Up ]

Send mail to leila@model.iag.usp.br with questions or comments about this web site.
Last modified: 11/08/05